题目内容

从椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线恰好通过椭圆的左焦点F₁，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM，又Q是椭圆上任一点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求∠F₁QF₂的范围；
（3）当QF₂⊥AB时，延长QF₂与椭圆交于另一点P，若△F₁PQ的面积为20 $数学公式$ ，求椭圆方程．

解：（1）∵过点M向x轴作垂线经过左焦点，A（a，0），B（0，b），∴ $\text{[math]}$ ，
∵AB∥OM，所以k_AB=k_OM，即 $\text{[math]}$ ，从而得到 $\text{[math]}$ ，
∴离心率 $\text{[math]}$ ．
（2）设|PF₁|=m，|PF₂|=n
∴ $\text{[math]}$ ，
又因为 $\text{[math]}$ ，所以0≤cos∠F₁QF₂≤1，所以 $\text{[math]}$ ．
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∵ $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，所以直线F₂Q的方程：y= $\text{[math]}$ （x-c）
直线与椭圆联立 $\text{[math]}$ ，消元可得5x²-8cx+2c²=0
∴△=24c²＞0， $\text{[math]}$ ，
由弦长公式可得 $\text{[math]}$ ，
又因为F₁到直线 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ ，所以c²=25，b²=25，a²=50，
所以椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据过点M向x轴作垂线经过左焦点，A（a，0），B（0，b），可得M的坐标，利用AB∥OM，即可得到椭圆的离心率；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式，可得0≤cos∠F₁QF₂≤1，从而可确定∠F₁QF₂的范围；
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），确定直线F₂Q的方程：y= $\text{[math]}$ （x-c）与椭圆联立 $\text{[math]}$ ，利用韦达定理，求得弦长公式，F₁到直线 $\text{[math]}$ 的距离，根据△F₁PQ的面积为20 $\text{[math]}$ ，即可得到椭圆的方程．
点评：本题考查椭圆的离心率，考查余弦定理的运用，考查基本不等式的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是直线与椭圆联立，确定三角形的面积．