Question

6．设函数f（x）=-x³+x-1．
（Ⅰ）若y=-2x+b为f（x）的一条切线，求b值．
（Ⅱ）若f（t）＜-2t+m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围．
（ III）若关于x的方程f （x）=k恒有三个不相等的实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数，设切点为（x₀，y₀）．求出切点坐标，然后带入y=-2x+b，求解即可．
（Ⅱ）构造g（t）=f（t）-（-2t+m）=-t³+3t-1-m，求出导数，得到极值点，利用单调性，求解最值，推出结果即可．
（Ⅲ）求出导函数得到函数的极值，即可推出结果．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-3x²+1，…（1分）
设切点为（x₀，y₀）．故$-3{x_0}^2+1=-2$，∴x₀=±1所以切点为（1，-1），（-1，-1）…（2分）
带入y=-2x+b得b=1或-3．…（4分）
（Ⅱ）令g（t）=f（t）-（-2t+m）=-t³+3t-1-m，
由g'（t）=-3t²+3=0得t=1，t=-1（不合题意，舍去）．
当t变化时g'（t），g（t）的变化情况如下表：

t	（0，1）	1	（1，2）
g'（t）	+	0	-
g（t）	递增	极大值1-m	递减

∴g（t）在（0，2）内有最大值g（1）=1-m．…（7分）h（t）＜-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g（t）＜0在（0，2）内恒成立，
即等价于1-m＜0，
所以m的取值范围为m＞1．…（9分）
（Ⅲ）f′（x）=-3x²+1，由$-3{x^2}+1=0，x=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
 令f′（x）＜0，解得：x＜$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，或x＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$
令f′（x）＞0，解得：-$\frac{\sqrt{3}}{3}＜$x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴函数f（x）的极大值f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{9}-1$，极小值f（$-\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$-1；
直线y=k与y=f（x）的图象有3个不同交点，
即方程f（x）=k有三解，
∴$k∈（{-\frac{{2\sqrt{3}}}{9}-1，\frac{{2\sqrt{3}}}{9}-1}）$．…（14分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的最值单调性的应用，考查计算能力．