Question

11．求证：任意n∈N^*，$\sqrt{e}$＜（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）•…•（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＜e成立．

Answer 1

分析 要证原不等式成立，可证$\frac{1}{2}$＜ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）+ln（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＜1．构造f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1+x}$，求得导数判断单调性，再由不等式的性质和等差数列的求和公式，即可得证．

解答 证明：要证任意n∈N^*，$\sqrt{e}$＜（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）•…•（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＜e成立，
即证$\frac{1}{2}$＜ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）+ln（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＜1．
由f（x）=ln（1+x）-x的导数为f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1=$\frac{-x}{1+x}$＜0（x＞0），
f（x）在（0，+∞）递减，即有f（x）＜f（0）=0，
则ln（1+x）＜x，
则ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）+ln（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{2}{{n}^{2}}$+…+$\frac{n}{{n}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}n（n+1）}{{n}^{2}}$＜1，
又g（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1+x}$的导数为$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{（1+x）^{2}}$=$\frac{x}{（1+x）^{2}}$＞0（x＞0），
g（x）在（0，+∞）递增，即有g（x）＞g（0）=0，
则ln（1+x）＞$\frac{x}{1+x}$，
则ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）+ln（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＞$\frac{1}{1+{n}^{2}}$+$\frac{2}{2+{n}^{2}}$+…+$\frac{n}{n+{n}^{2}}$
＞$\frac{1}{n+{n}^{2}}$+$\frac{2}{n+{n}^{2}}$+…+$\frac{n}{n+{n}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}n（n+1）}{n+{n}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
即有$\frac{1}{2}$＜ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）+ln（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＜1，
故对任意n∈N^*，$\sqrt{e}$＜（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）•…•（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＜e成立．

点评 本题考查不等式的证明，考查导数的运用：求单调性，考查不等式的性质和推理能力，属于中档题．