Question

2．设a，b，c是某三角形的三边长，证明a²（b+c-a）+b²（c+a-b）+c²（a+b-c）≤3abc．

Answer 1

分析 不妨设a≥b≥c，通过排序不等式推出a²（b+c-a）+b²（c+a-b）+c²（a+b-c）≤ba（b+c-a）+cb（c+a-b）+ac（a+b-c），a²（b+c-a）+b²（c+a-b）+c²（a+b-c）≤ca（b+c-a）+ab（c+a-b）+bc（a+b-c）即可推出结果．

解答 证明：不妨设a≥b≥c，可得ac-bc≤a²-b²，即a（b+c-a）≤b（c+a-b），
容易验证a（b+c-a）≤b（c+a-b）≤c（a+b-c），
由排序不等式可得a²（b+c-a）+b²（c+a-b）+c²（a+b-c）≤ba（b+c-a）+cb（c+a-b）+ac（a+b-c），①
及a²（b+c-a）+b²（c+a-b）+c²（a+b-c）≤ca（b+c-a）+ab（c+a-b）+bc（a+b-c），②
①+②并化简即得a²（b+c-a）+b²（c+a-b）+c²（a+b-c）≤3abc．

点评 本题考查排序不等式的应用，不等式的证明，考查逻辑推理能力．