Question

已知函数在处切线为.
（1）求的解析式；
（2）设，，，表示直线的斜率，求证：.

Answer 1

（1）；（2）见解析

试题分析：（1）将切点代入切线方程可得。由切线方程可知切线的斜率为1，根据导数的几何意义可得。解方程组即可求得的值。从而可得的解析式。（2）可将问题转化证，因为所以即证，分别去证和。再证这两个不等式时均采用构造函数求其最值的方法证明即可。用其他方法证明也可。
试题解析：（1），，∴由得 3分
把代入得，即，∴
∴.     5分
（2）『证法1』：
证明：由（1）∴证明即证
各项同除以，即证 8分
令，则，这样只需证明即
设,,
∵，∴，即在上是增函数
∴，即  10分
设，
∴在也是在增函数
，即
从而证明了成立，所以成立. 12分
『证法2』：
证明：等价于
即 8分
先证，
问题等价于，即
设，则
∴在上是增函数，
∵，∴，∴，
得证.    10分
再证，
问题等价于，即
设，则
∴在上是减函数，
∵，∴，∴，
得证.综上，.         12分