Question

已知点M（1，1）过点M作两条相互垂直的直线与圆x²+y²=4分别交于A、B、C、D，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：先确定AC²+BD²为定值，表示出面积，即可求四边形ABCD的面积的最大值和最小值．

解答： 解：由题意可得，圆心O（0，0），半径R=2，
设弦AC，BD的中点分别为E，F，则OE²+OF²=OM²=2，
AC=2

R2-OE2

=2

4-OE2

，BD=2

R2-OF2

=2

4-OF2

，
∴AC²+BD²=4（8-OE²-OF²）=24，
∴S²=

1

4

AC²•BD²=

1

4

AC²•（24-AC²）≤

1

4

(

AC2+24-AC2

2

)2=36，
∴S≤6，当且仅当AC²=24-AC²，即AC=2

3

时，取等号，
故四边形ABCD面积S的最大值为6．

点评：本题主要考查直线过定点，考查面积的计算，基本不等式的应用，正确运用代入法是解题的关键，属于基础题．