Question

1．若函数$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}-2，g（x）=a（x-a+3）$同时满足以下两个条件：
①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②?x∈（-1，1），f（x）g（x）＜0．
则实数a的取值范围为（2，4）．

Answer 1

分析 由①可得当x≤-1时，g（x）＜0，根据②可得g（1）=a（1-a+3）＞0，由此解得实数a的取值范围．

解答 解：∵已知函数$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}-2，g（x）=a（x-a+3）$，
根据①?x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，
即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．
由f（x）≥0，求得x≤-1，
即当x≤-1时，g（x）＜0恒成立，
故$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ a-3＞-1\end{array}\right.$，解得：a＞2；
根据②?x∈（-1，1），使f（x）•g（x）＜0成立，
∴g（1）=a（1-a+3）＞0，
解得：0＜a＜4，
综上可得：a∈（2，4），
故答案为：（2，4）

点评 本题主要考查一次函数的性质，指数函数的图象和性质，体现了转化、数形结合的数学思想，难度较大．