Question

8．如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，已知AE与平面ABC所成的角为θ，且$tanθ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
（1）求证：平面ACD⊥平面ADE
（2）记AC=x，V（x）表示三棱锥A-CBE的体积，求V（x）的表达式及最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知得DC⊥BC，BC⊥AC，从而BC⊥平面ACD，由此能证明DE⊥平面ADE．
（2）由BE⊥平面ABC，BE=$\sqrt{3}$，由BC=$\sqrt{4-{x}^{2}}$（0＜x＜2），得S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}x\sqrt{4-{x}^{2}}$，由此能求出V（x）的表达式及最大值．

解答 证明：（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，
∴CD∥BE，BC∥DE，
∵CD⊥平面ABC，AB=2，AE与平面ABC所成的角为θ，且$tanθ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
BC?平面ABC，∴DC⊥BC，
∵AB为圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C，
∴BC⊥平面ACD，
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，
又DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．
解：（2）∵DC⊥平面ABC，CD∥BE，
∴BE⊥平面ABC，
在Rt△ABE中，由tan∠EAB=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB=2，得BE=$\sqrt{3}$，
在Rt△ABC中，∵BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{4-{x}^{2}}$（0＜x＜2），
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}x\sqrt{4-{x}^{2}}$，
∴V（x）=V_A-CBE=$\frac{1}{3}$S_△ABC•BE=$\frac{\sqrt{3}}{6}•\sqrt{{x}^{2}（4-{x}^{2}）}$≤$\frac{\sqrt{3}}{6}•\frac{{x}^{2}+（4-{x}^{2}）}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
当且仅当x²=4-x²，即x=$\sqrt{2}$∈（0，2）时，“=”成立．
即当AC=$\sqrt{2}$时，V（x）取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$V（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{6}x\sqrt{4-{x^2}}$（0＜x＜2），$V{（x）_{max}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的表达式及最大值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．