Question

（2012•洛阳模拟）选修4-5：不等式选讲   设函数f（x）=|x+1|+|x-4|-a．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）若f(x)≥

4

a

+1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；
（2）f(x)≥

4

a

+1?|x+1|+|x-4|-1≥a+

4

a

?a+

4

a

≤4，对a进行分类讨论可求a的取值范围．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-4|-1≥|（x+1）-（x-4）|-1=5-1=4．
所以函数f（x）的最小值为4．
（2）f(x)≥

4

a

+1对任意的实数x恒成立?|x+1|+|x-4|-1≥a+

4

a

对任意的实数x恒成立?a+

4

a

≤4对任意实数x恒成立．
当a＜0时，上式显然成立；
当a＞0时，a+

4

a

≥2

a• 4 a

=4，当且仅当a=

4

a

即a=2时上式取等号，此时a+

4

a

≤4成立．
综上，实数a的取值范围为（-∞，0）∪{2}．

点评：本题考查绝对值函数、基本不等式以及恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题一般转化为函数最值问题解决，．