题目内容
12．
如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）．有下列四个结论，其中错误的代号是（ ）| A． | 若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满 | |
| B． | 将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P | |
| C． | 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P | |
| D． | 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 |
分析 根据题意，设图1中水的高度为h2，几何体的高为h1，底面正方形的边长为b，利用水的体积，得出h1与h2的关系，从而判断D错误，A、B、C正确．
解答 解：设图1中水的高度h2，几何体的高为h1，底面正方形的边长为b；
则图2中水的体积为b2h1-b2h2=b2（h1-h2），
即$\frac{2}{3}$b2h2=b2（h1-h2），解得h1=$\frac{5}{3}$h2，
所以正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的，即D错误．
对于A，往容器内再注入a升水，水面将升高$\frac{2}{3}$h2，则h2+$\frac{2}{3}$h2=$\frac{5}{3}$h2=h1，容器恰好能装满，A正确；
对于B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，占容器内空间的一半，
所以水面也恰好经过P点，B正确；
对于C，任意摆放该容器，当水面静止时，P点在长方体中截面上，始终占容器内空间的一半，
所以水面都恰好经过点P，C正确．
故选：D．
点评 本题考查几何模型的应用问题，也考查了空间几何体的体积应用问题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的应用，是综合性题目．
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