Question

20．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），记f^[2]（x）=f（f（x）），例：f（x）=x²+1，
则f^[2]（x）=（f（x））²+1=（x²+1）²+1；
（1）f（x）=x²-x，解关于x的方程f^[2]（x）=x；
（2）记△=（b-1）²-4ac，若f^[2]（x）=x有四个不相等的实数根，求△的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据新类型的定义，求解f^[2]（x），再解方程即可．
（2）换元思想，根据新类型的定义：f（f（x））=x，令f（x）-x=t，则f（x）-t=x，f（x）=t+x，则有：f（t+x）=f（x）-t．带入二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），求出t，t又是二次函数的值，即ax²+bx+c=t
函数必有两个根，△＞0．化简可得（b-1）²-4ac的取值范围．

解答 解：（1）由题意：当f（x）=x²-x时，则：f^[2]（x）=（x²-x）²-（x²-x）=x⁴-2x³+x；
那么：f^[2]（x）=x；即：x⁴-2x³+x=x；
解得：x=0或x=2．
（2）根据新类型的定义：f（f（x））=x，令f（x）-x=t，
则f（x）-t=x，f（x）=t+x，
则有：f（t+x）=f（x）-t．即a（t+x）²+b（t+x）+c=ax²+bx+c-t，
化简可得：at²+（2ax+b+1）t=0，
解得：t=0或t=$-\frac{2ax+b+1}{a}$．
当t=0时，即ax²+bx+c=x，有两个不相同的实数根，可得（b-1）²-4ac＞0．
当t=$-\frac{2ax+b+1}{a}$时，ax²+bx+c=x$+\frac{2ax+b+1}{a}$，整理可得：$a{x}^{2}+（b+1）x+c+\frac{b+1}{a}=0$，
∴△=$（b+1）^{2}-4a（c+\frac{b+1}{a}）$=（b+1）²-4ac+4（b+1）=（b-1）²-4ac-4
∵有两个不相同的实数根△＞0．
∴（b-1）²-4ac-4＞0，即（b-1）²-4ac＞4．
综上所得△=（b-1）²-4ac的取值范围是（4，+∞）．

点评 本题考查了新定义的应用和理解，计算能力！反函数的利用和构造思想．换元的代换是解决此题的关键．属于难题．