Question

9．已知点P是双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞0，b＞0）右支上一点，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF₁F₂的内心，且有S${\;}_{△IP{F_1}}}$-S${\;}_{△IP{F_2}}}$=$\frac{1}{2}$S${\;}_{△I{F_1}{F_2}}}$，则该双曲线的离心率为2．

Answer 1

分析 设圆I与△PF₁F₂的三边F₁F₂、PF₁、PF₂分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，可得△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形．利用三角形面积公式，代入已知式S${\;}_{△IP{F_1}}}$-S${\;}_{△IP{F_2}}}$=$\frac{1}{2}$S${\;}_{△I{F_1}{F_2}}}$，化简可得|PF₁|-|PF₂|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．

解答 解：如图，设圆I与△PF₁F₂的三边F₁F₂、PF₁、PF₂分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，
则IE⊥F₁F₂，IF⊥PF₁，IG⊥PF₂，它们分别是
△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂的高，
∴S${\;}_{△IP{F_1}}}$=$\frac{1}{2}$×|PF₁|×|IF|=$\frac{r}{2}$|PF₁|，
S${\;}_{△IP{F_2}}}$=$\frac{1}{2}$×|PF₂|×|IG|=$\frac{r}{2}$|PF₂|
S${\;}_{△I{F_1}{F_2}}}$=$\frac{1}{2}$×|F₁F₂|×|IE|=$\frac{r}{2}$|F₁F₂|，其中r是△PF₁F₂的内切圆的半径．
∵S${\;}_{△IP{F_1}}}$-S${\;}_{△IP{F_2}}}$=$\frac{1}{2}$S${\;}_{△I{F_1}{F_2}}}$，
∴$\frac{r}{2}$|PF₁|-$\frac{r}{2}$|PF₂|+$\frac{r}{4}$|F₁F₂|
两边约去$\frac{r}{2}$得：|PF₁|-|PF₂|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|
根据双曲线定义，得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴2a=c⇒离心率为e=$\frac{c}{a}$=2，
故答案为：2．

点评 本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题．