题目内容
若对任意实数x，不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a恒成立，则实数a的取值范围为 ．
考点：函数恒成立问题
专题：不等式的解法及应用
分析：由绝对值的集合意义求得|x+3|+|x-1|的最小值，把不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a恒成立转化为a2-3a≤4
，求解该不等式得答案．
，求解该不等式得答案．
解答：
解：由绝对值的几何意义知，|x+3|+|x-1|表示数轴上的动点x与两定点-3，1的距离，
则|x+3|+|x-1|的最小值为4，
要使不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a恒成立，则
a2-3a≤4，即a2-3a-4≤0，解得：-1≤a≤4．
∴满足对任意实数x，不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a恒成立的实数a的取值范围为[-1，4]．
故答案为：[-1，4]．
则|x+3|+|x-1|的最小值为4，
要使不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a恒成立，则
a2-3a≤4，即a2-3a-4≤0，解得：-1≤a≤4．
∴满足对任意实数x，不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a恒成立的实数a的取值范围为[-1，4]．
故答案为：[-1，4]．
点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了绝对值的几何意义，考查了数学转化思想方法，是中档题．
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