Question

已知函数f（x）=2msin²x-2

3

msinxcosx+n，（m＞0），定义域为[0，

π

2

]，值域为[-5，4]．
（1）求f（x）表达式；
（2）若函数g（x）与f（x）关于直线x=

π

2

对称，求g（x）的增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的对称性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据x的范围确定函数的最大值和最小值，列出方程组求得m和n，则函数解析式可得．
（2）根据g（x）与f（x）关于直线x=

π

2

对称获得g（x）的解析式，根据三角函数的性质求得函数的单调增区间．

解答： 解：（1）f(x)=-2msin(2x+

π

6

)+m+n，x∈[0，

π

2

]
令t=2x+

π

6

，t∈[

π

6

，

7π

6

]，
H(t)=-2msint+m+n，sint∈[-

1

2

，1]，
∵m＞0，
∴

H(t)max=-2m(- 1 2 )+m+n=4 H(t)min=-2m+m+n=-5

，求得

m=3 n=-2

∴f（x）=-6sin（2x+

π

6

）+1，
（2）∵g（x）与f（x）关于直线x=

π

2

对称
∴g（x）=6sin（2x-

π

6

）+1，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

得  x∈[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．

点评：本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数恒等变换的应用．考查了学生基础知识的综合运用．