Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．

（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若二面角M﹣QB﹣C为30°，求线段PM与线段MC的比值t．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AD∥BC，BC= AD，Q为AD的中点．

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．

∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD.

（2）解：∵PA=PD，Q为AD的中点．∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD（6分）

如图，以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系．

则平面BQC的一个法向量为 =（0，0，1），

Q（0，0，0），P（0，0， ），B（0， ，0），C（﹣1， ，0）．

设M（x，y，z），则 =（x，y，z﹣ ）， =（﹣1﹣x， ﹣y，﹣z），

∵ =t ，

∴ ，∴ ．

在平面MBQ中， =（0， ，0）， =（﹣ ， ， ），

设平面MBQ的一个法向量 =（x，y，z），

则 ，取x= ，得 =（ ），

∵二面角MBQC为30°，cos30°=|cos＜ ＞|= = = ，

解得t=3．

【解析】（1）推导出四边形BCDQ为平行四边形，从而CD∥BQ．又QB⊥AD．从而BQ⊥平面PAD，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出t的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．