题目内容

已知双曲线的中心在原点O，右焦点为F ( c,0 )，P是双曲线右支上一点，且△OFP的面积为

（Ⅰ）若点P坐标为，求此双曲线的离心率；

（Ⅱ）若，当取得最小值时，求此双曲线的方程。

解：（Ⅰ）设所求的双曲线的方程为 ( a＞0，b＞0)

则|OF|×=，∴c =

∴b2 = c2 a2 = 2 a2

由点P ( 2, )在双曲线上，∴，解得a2 = 1

∴离心率

（Ⅱ）设所求的双曲线的方程为 ( a＞0，b＞0)，P (x1，y1)

则 = (x1 c, y1 )

∵△OFP的面积为 ，

∴||      | y1 | = . ∴| y1 | =

∵?=     

∴?= ( x1 c ) c =

解得

≥
 
∵==

当且仅当c =时等号成立

此时P () , 由此得  ，解得  或舍

则所求双曲线的方程为

练习册系列答案
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已知双曲线的中心在原点O，右焦点为F（c，0），P是双曲线右支上一点，且△OEP的面积为
6
2
.
（Ⅰ）若点P的坐标为(2，
3
)，求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）若
OF
•
FP
=(
6
3
-1)c2，当|
OP
|取得最小值时，求此双曲线的方程．
已知双曲线的中心在原点O，其中一条准线方程为x=
3
2
，且与椭圆
x2
25
+
y2
13
=1有共同的焦点．
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）（普通中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
（重点中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，C是直线L1：y=mx+6上任一点（A、B、C三点不共线）试问：是否存在实数k，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

（07年朝阳区一模）（14分）  已知双曲线的中心在原点O，右焦点为F（c，0），P是双曲线右支上一点，且△OEP的面积为

   （Ⅰ）若点P的坐标为，求此双曲线的离心率；

   （Ⅱ）若，当取得最小值时，求此双曲线的方程.
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（Ⅰ）若点P的坐标为，求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）若，当取得最小值时，求此双曲线的方程．
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（Ⅰ）若点P的坐标为，求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）若，当取得最小值时，求此双曲线的方程．

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