Question

已知双曲线的中心在原点O，右焦点为F（c，0），P是双曲线右支上一点，且△OEP的面积为
（Ⅰ）若点P的坐标为，求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）若，当取得最小值时，求此双曲线的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）、设所求的双曲线的方程为，再由题设条件求出a和c，从而求出此双曲线的离心率．
（2）、设所求的双曲线的方程为，则再利用均值不等式求当取得最小值时此双曲线的方程．
解答：解：（Ⅰ）设所求的双曲线的方程为，
由
∴b²=c²-a²=2-a²．
由点在双曲线上，
∴，
∴离心率
（Ⅱ）设所求的双曲线的方程为，
则
∵△OFP的面积为
∵
解得∵，
当且仅当时等号成立．
此时
（舍）．
则所求双曲线的方程为．
点评：本题是双曲线的综合题，难度较大．重点考查双曲线的性质和待定系数法的应用，解题时要注意均值不等式的灵活应用．