题目内容

已知双曲线的中心在原点O，其中一条准线方程为x=
3
2
，且与椭圆
x2
25
+
y2
13
=1有共同的焦点．
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）（普通中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
（重点中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，C是直线L1：y=mx+6上任一点（A、B、C三点不共线）试问：是否存在实数k，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
分析：（1）由已知得：c2=12，
a2
c
=
3
2
，则a2=3，b2=9，从而可求双曲线的标准方程；
（2）（普通中学学生做）将y=kx+3代入
x2
3
-
y2
9
=1得（3-k2）x2-6kx-18=0，从而可得k的范围．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，由题意知：OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，从而可求满足条件的实数k；
（重点中学学生做）将y=kx+3代入
x2
3
-
y2
9
=1得（3-k2）x2-6kx-18=0，从而可得k的范围．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，由题意知：A、B两点关于直线L1对称，从而可求则AB的中点D的坐标，并满足直线L1的方程y=-
1
k
x+6，故可求满足条件的实数k．
解答：解：（1）由已知得：c2=12，
a2
c
=
3
2
，则a2=3，b2=9，
因此所求双曲线的标准方程为
x2
3
-
y2
9
=1．---（4分）
（2）（普通中学学生做）
将y=kx+3代入
x2
3
-
y2
9
=1得（3-k2）x2-6kx-18=0，
则由3-k2≠0，△=216-36k2＞0得：-
6
＜k＜
6
，k≠±
3
，---（7分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，
由题意知：OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，---（9分）
又y1=kx1+3，y2=kx2+3，
则x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=
9k2-9
k2-3
=0，即k=±1满足条件．---（12分）
（重点中学学生做）
将y=kx+3代入
x2
3
-
y2
9
=1得（3-k2）x2-6kx-18=0，
则由3-k2≠0，△=216-36k2＞0得：-
6
＜k＜
6
，k≠±
3
，---（7分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，
由题意知：A、B两点关于直线L1对称，---（9分）
则AB的中点D的坐标为(
3k
3-k2
，
9
3-k2
)，
并满足直线L1的方程y=-
1
k
x+6，则k=±1满足条件．---（12分）
点评：本题以椭圆的标准方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将问题进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线的中心在原点O，右焦点为F（c，0），P是双曲线右支上一点，且△OEP的面积为
6
2
.
（Ⅰ）若点P的坐标为(2，
3
)，求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）若
OF
•
FP
=(
6
3
-1)c2，当|
OP
|取得最小值时，求此双曲线的方程．

（07年朝阳区一模）（14分）  已知双曲线的中心在原点O，右焦点为F（c，0），P是双曲线右支上一点，且△OEP的面积为

   （Ⅰ）若点P的坐标为，求此双曲线的离心率；

   （Ⅱ）若，当取得最小值时，求此双曲线的方程.
已知双曲线的中心在原点O，右焦点为F（c，0），P是双曲线右支上一点，且△OEP的面积为
（Ⅰ）若点P的坐标为，求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）若，当取得最小值时，求此双曲线的方程．
已知双曲线的中心在原点O，右焦点为F（c，0），P是双曲线右支上一点，且△OEP的面积为
（Ⅰ）若点P的坐标为，求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）若，当取得最小值时，求此双曲线的方程．

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