Question

已知双曲线的中心在原点O，右焦点为F（c，0），P是双曲线右支上一点，且△OEP的面积为

6

2

.
（Ⅰ）若点P的坐标为(2，

3

)，求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）若

OF

•

FP

=(

6

3

-1)c2，当|

OP

|取得最小值时，求此双曲线的方程．

Answer 1

分析：（1）、设所求的双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，再由题设条件求出a和c，从而求出此双曲线的离心率．
（2）、设所求的双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，P(x1，y1)，则

FP

=(x1-c，y1).再利用均值不等式求当|

OP

|取得最小值时此双曲线的方程．

解答：解：（Ⅰ）设所求的双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
由

1

2

|OF|×

3

=

6

2

，∴c=

2

.
∴b²=c²-a²=2-a²．
由点P(2，

3

)在双曲线上，
∴

4

a2

-

3

2-a2

=1，解得a2=1，
∴离心率e=

c

a

=

2

.
（Ⅱ）设所求的双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，P(x1，y1)，
则

FP

=(x1-c，y1).
∵△OFP的面积为

6

2

，∴

1

2

|

OF

||y1|=

6

2

．∴|y1|=

6

c

.
∵

OF

•

FP

=(

6

3

-1)c2，∴

OF

•

FP

=(x1-c)c=(

6

3

-1)c2.
解得x1=

6

3

c.∵|

OP

|=

x 2 1 + y 2 1

=

6c2 9 + 6 c2

≥4，
当且仅当c=

3

时等号成立．
此时P(

2

，±

2

)．由此得

2 a2 - 2 b2 =1 a2+b2=3

解得

a2=1 b2=2

或

a2=6 b2=-3

（舍）．
则所求双曲线的方程为x2-

y2

2

=1．

点评：本题是双曲线的综合题，难度较大．重点考查双曲线的性质和待定系数法的应用，解题时要注意均值不等式的灵活应用．