Question

13．已知α、β∈（0，π），且tanα，tanβ是方程x²+5x+6=0的两根．
（1）求α+β；
（2）求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）由韦达定理得tanα+tanβ=-5，tanαtanβ=6，由此利用正切加法公式能求出α+β的值．
（2）解方程x²+5x+6=0，得tanα=-2，tanβ=-3，或tanα=-3，tanβ=-2，由此利用同角三角函数及余弦函数加法定理能求出结果．

解答 解：（1）∵α、β∈（0，π），且tanα，tanβ是方程x²+5x+6=0的两根，
∴tanα+tanβ=-5，tanαtanβ=6，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{-5}{1-6}$=1，
∵α、β∈（0，π），∴α+β∈（π，2π），
∴α+β=$\frac{5π}{4}$．
（2）解方程x²+5x+6=0，得x₁=-2，x₂=-3，
∴tanα=-2，tanβ=-3，或tanα=-3，tanβ=-2，
当tanα=-2，tanβ=-3时，α，β都是第二象限角，
sinα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，cosα=-$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinβ=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，cosβ=-$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{2}{\sqrt{5}}•（-\frac{1}{\sqrt{5}}）$+$\frac{3}{\sqrt{10}}$•（-$\frac{1}{\sqrt{10}}$）=-$\frac{7}{10}$．
当tanα=-3，tanβ=-2时，α，β都是第二象限角，
sinβ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，cosβ=-$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinα=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，cosα=-$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{2}{\sqrt{5}}•（-\frac{1}{\sqrt{5}}）$+$\frac{3}{\sqrt{10}}$•（-$\frac{1}{\sqrt{10}}$）=-$\frac{7}{10}$．
∴cos（α-β）=-$\frac{7}{10}$．

点评 本题考查两角和的求法，考查余弦函数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正切加法定理和余弦加法定理的合理运用．