Question

15．|$\overrightarrow{AB}$|=1，|$\overrightarrow{AC}$|=2，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，点D在∠CAB内，且∠DAB=30°，设$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（λ，μ∈R），则$\frac{λ}{μ}$等于（　　）

• A． 3
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 $\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，∴，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于∠DAB=30°，设D点坐标为（$\sqrt{3}$y，y），由平面向量坐标表示，可求出λ和μ．

解答 解：由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，∴，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
以A为原点，以$\overrightarrow{AB}$所在的直线为x轴正半轴，以$\overrightarrow{AC}$所在的直线为y轴的正半轴，
则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），
∠DAB=30°设D点坐标为（$\sqrt{3}$y，y），
$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（λ，μ∈R），
即（$\sqrt{3}$y，y）=（λ，2μ），
$λ=\sqrt{3}y$，$μ=\frac{y}{2}$，
$\frac{λ}{μ}$=2$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题主要考察平面向量的坐标表示，根据条件建立平面直角坐标系，分别写出各点坐标，属于中档题．