Question

【题目】已知椭圆： （）的左焦点为，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设为坐标原点， 为直线上一点，过作的垂线交椭圆于， ．当四边形是平行四边形时，求四边形的面积。

Answer 1

【答案】(1) ；（2）

【解析】试题分析：（1）由已知得： ， ，所以，再由可得，从而得椭圆的标准方程. ）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得： .面积，而，所以只要求出的值即可得面积.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.

再结合韦达定理即可得的值.

试题解析：（1）由已知得： ， ，所以

又由，解得，所以椭圆的标准方程为： .

（2）椭圆方程化为.

设T点的坐标为，则直线TF的斜率.

当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是

当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.

将代入椭圆方程得： .

其判别式.

设，

则.

因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.

所以，解得.

此时四边形OPTQ的面积

.