Question

【题目】已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.

（1）求的方程；

（2）延长交抛物线于点，过点作抛物线的切线，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的性质可知点横坐标为的中点横坐标，列出方程解出；（2）根据列出方程得出，横坐标的关系，从而得出的斜率，设方程，与抛物线方程联立，由判别式得出的截距与点坐标的关系，求出点坐标，利用三点共线，即可证明结论.

试题解析：(1)由题意知，

设，则的中点为.

因为，

由抛物线的定义知，

解得或(舍去)．

由，解得.

所以抛物线的方程为.

(2)设,

由得,所以，则．

设和抛物线相切，则将代入得

只有1个根，所以.

又因为，三点共线，所以

化简得，

解得或.

因为时，点与点重合，故舍去，

所以所以.