Question

【题目】在四边形中，已知，，点在轴上，，且对角线．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若点是直线上任意一点，过点作点的轨迹的两切线，为切点，直线是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）直线恒过定点

【解析】试题分析：（1）设点 ，则点，利用 ,可得 的坐标，再利用 即可得结论；（2）对函数 求导即可得切线的斜率，设切点 ，可得切线方程为 ，设点，由于切线过点 ，得 ，设点，则是方程的两 个实数根，利用根与系数的关系，再利用中点坐标公式即可点的坐标，求出斜率， 即可得到直线 的方程，可得到定点。

（1）设点 ，则，∴，．

∵，∴，即．

（2）对函数求导数．

设切点，则过该切点的切线的斜率为，

∴切线方程为．

设点，由于切线经过点，∴．

化为．

设点，．

则是方程的两个实数根，∴，

，设为中点，∴.

∴

∴点

又∵

∴直线的方程为，即（*）

∴当时，方程（*）恒成立.

∴对任意实数，直线恒过定点.