Question

【题目】已知函数在点处的切线是.

(1)求函数的极值；

(2)当恒成立时，求实数的取值范围(为自然对数的底数).

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2).

【解析】试题分析：

（1）由题意可得函数的解析式（），则，的极大值为，无极小值.

（2）原问题等价于在恒成立，

【法一】设，由题意可得；.据此有，解得，故实数的取值范围是.

【法二】设（），则，

结合导函数的解析式可知在上单调递增，在上单调递减.所以，即，则实数的取值范围是.

试题解析：

（1）因为，所以，

因为点处的切线是，所以，且

所以，即（）

所以，所以在上递增，在上递减

所以的极大值为，无极小值.

（2）当在恒成立时,由（1），

即在恒成立，

【法一】设，则，，

又因为，所以当时，；当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增，；

在上单调递增，在上单调递减，.

所以均在处取得最值，所以要使恒成立，

只需，即，解得，又，

所以实数的取值范围是.

【法二】设（），则

当时，，，则，，即

当时，，，则，，即

所以在上单调递增，在上单调递减.

所以，即，又

所以实数的取值范围是.