Question

15．已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．
（1）设f（x）=cosx+sinx，$α=\frac{π}{2}$，求g（x）的解析式；
（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得$g（x）=2cosx（cosx+\sqrt{3}sinx）$；
（3）当f（x）=|sinx|+cosx，$α=\frac{π}{2}$时，存在x₁，x₂∈R，对任意x∈R，g（x₁）≤g（x）≤g（x₂）恒成立，求|x₁-x₂|的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x+α），代入g（x）=f（x）•f（x+α）化简得出．
（2）对g（x）化简得$g（x）=2cosx（cosx+\sqrt{3}sinx）$=4cosx•cos（x-$\frac{π}{3}$），故f（x）=2cosx，α=-$\frac{π}{3}$．
（3）求出g（x）的解析式，判断g（x）在何时取的最大值和最小值，

解答 解：（1）∵f（x）=cosx+sinx，$α=\frac{π}{2}$∴f（x+α）=cos（x+$\frac{π}{2}$）+sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx-sinx；
∴g（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）=cos²x-sin²x=cos2x．
（2）∵$g（x）=2cosx（cosx+\sqrt{3}sinx）$=4cosx•cos（x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）=2cosx，α=-$\frac{π}{3}$．
（3）∵f（x）=|sinx|+cosx，∴g（x）=f（x）•f（x+α）=（|sinx|+cosx）（|cosx|-sinx）
=$\left\{\begin{array}{l}{cos2x，x∈（2kπ，2kπ+\frac{π}{2}]}\\{-sin2x-1，x∈（2kπ+\frac{π}{2}，2kπ+π]}\\{-cos2x，x∈（2kπ+π，2kπ+\frac{3π}{2}]}\\{1-2sin2x，x∈（2kπ+\frac{3π}{2}，2kπ+2π]}\end{array}\right.$，
因为存在x₁，x₂∈R，对任意x∈R，g（x₁）≤g（x）≤g（x₂）恒成立，
所以当x₁=2kπ+π或${x_1}=2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$时，g（x）≥g（x₁）=-1
当${x_2}=2kπ+\frac{7π}{4}，k∈Z$时，g（x）≤g（x₂）=2
所以$|{{x_1}-{x_2}}|=|{2{k_1}π+π-（2{k_2}π+\frac{7π}{4}）}|\;，{k_1}、{k_2}∈Z$
或$|{{x_1}-{x_2}}|=|{2{k_1}π+\frac{π}{2}-（2{k_2}π+\frac{7π}{4}）}|\;，{k_1}、{k_2}∈Z$
所以|x₁-x₂|的最小值是$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的性质，分段函数的应用，属于中档题．