Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，且|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|，（k＞0），令函数f（k）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
（1）求f（k）的表达式（用k表示）
（2）求f（k）的最小值．

Answer 1

分析 （1）对|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|两边平方，得出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$与k的关系，
（2）利用基本不等式求出最小值．

解答 解：（1）∵|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|，∴（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=3（$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$）²，即k²+2k$\overrightarrow{a}•$$\overrightarrow{b}$+1=3-6k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+3k²，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$．
∴f（k）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$．
（2）∵k＞0，∴f（k）=$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$=$\frac{k}{4}$+$\frac{1}{4k}$≥2$\sqrt{\frac{k}{4}•\frac{1}{4k}}$=$\frac{1}{2}$．当且仅当$\frac{k}{4}$=$\frac{1}{4k}$，即k=$\frac{1}{4}$时，取等号．
∴f（k）的最小值是$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，基本不等式的应用，属于基础题．