Question

已知向量=（m，-1），=（，），
（Ⅰ）若∥，求实数m的值；
（Ⅱ）若⊥，，求实数m的值；
（Ⅲ）若⊥，且存在不等于零的实数k，t使得[+（t²-3）]•（-k+t）=0，试求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用两个向量平行的性质：x₁y₂-x₂y₁=0，解出m的值．
（2）利用两个向量垂直的性质：数量积等于0，解出m的值．
（3）先求出两个向量的模，由题中的等式化简解出k=，再化简 的解析式，
利用二次函数的性质，通过配方求出其最小值．
解答：解：（1）∵=（m，-1），=（，），且∥，
∴m-．（-1）=0，∴m=-．
（2）∵=（m，-1），=（，），且⊥，
∴•=0，m•+（-1）=0，∴m=．
（3）∵⊥，∴=0．
由条件可得||=，，[+（t²-3）]•（-k+t）=0，
即：-k²+（t²-3）t²=0，即-k||²+（t²-3）t||²=0，即-4k+（t²-3）t=0．
∴k=，由  ，
可得当t=-2时，有最小值-．
点评：本题考查两个向量平行、垂直的性质，以及两个向量的数量积运算、用配方法求二次函数的最值．