Question

已知向量

a

=（m，-1），

b

=（sinx，cosx），f(x)=

a

•

b

且满足f(

π

2

)=1．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的最大值及其对应的x值；
（3）若f(α)=

1

5

，求

sin2α-2sin2α

1-tanα

的值．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量数量积的坐标公式，可得出f（x）含有参数m的解析式，再根据条件f(

π

2

)=1解出m的值，即得出函数y=f（x）的解析式；
（2）利用辅助角公式，可将f（x）化简为f（x）=

2

sin(x-

π

4

)，再用课本关于正弦函数的相应结论，可得出函数y=f（x）的最大值及其对应的x值；
（3）由f(α)=

1

5

，得到α的正弦与余弦的差等于

1

5

，利用平方的方法结合同角三角函数的平方关系，可得α的正弦与余弦的积为

24

25

，最后将二倍角的正弦公式代入要求值的分式，再将正切化做正弦除以余弦，可得出这个式子的值．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=msinx-cosx，
f(

π

2

)=1即msin

π

2

-cos

π

2

=1，所以m=1
所以f（x）=sinx-cosx…（4分）
（2）f(x)=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)
当x-

π

4

=2kπ+

π

2

(k∈Z)，
即x=2kπ+

3π

4

(k∈Z)时，fmax(x)=

2

…（8分）
（3）f(α)=

1

5

，即sinα-cosα=

1

5

…（9分）
两边平方得：(sinα-cosα)2=

1

25

，
所以2sinαcosα=

24

25

…（10分）

sin2α-2sin2α

1-tanα

=

2sinα(cosα-sinα)

1- sinα cosα

=2sinαcosα=

24

25

…（12分）

点评：本题考查了平面向量的数量积的坐标表示、三角函数的最值和三角函数求值等知识点，是一道平面向量的综合题．