Question

已知向量

.

a

=（m，-1），

.

b

=（

1

2

，

3

2

），
（Ⅰ）若

a

∥

b

，求实数m的值；
（Ⅱ）若

a

⊥

b

，，求实数m的值；
（Ⅲ）若

a

⊥

b

，且存在不等于零的实数k，t使得[

a

+（t²-3）

b

]•（-k

a

+t

b

）=0，试求

k+t 2

t

的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量平行的性质：x₁y₂-x₂y₁=0，解出m的值．
（2）利用两个向量垂直的性质：数量积等于0，解出m的值．
（3）先求出两个向量的模，由题中的等式化简解出k=

(t2-3)t

4

，再化简

k+t2

t

的解析式，
利用二次函数的性质，通过配方求出其最小值．

解答：解：（1）∵

.

a

=（m，-1），

.

b

=（

1

2

，

3

2

），且

a

∥

b

，
∴m

3

2

-

1

2

．（-1）=0，∴m=-

3

3

．
（2）∵

.

a

=（m，-1），

.

b

=（

1

2

，

3

2

），且

a

⊥

b

，
∴

.

a

•

.

b

=0，m•

1

2

+（-1）

3

2

=0，∴m=

3

．
（3）∵

.

a

⊥

.

b

，∴

.

a

•

b

=0．
由条件可得|

a

|=

3 2+1

 = 2，|b| =

1 2 2+ 3 2 2

=1，[

a

+（t²-3）

b

]•（-k

a

+t

b

）=0，
即：-k

a

²+（t²-3）t

b

²=0，即-k|

a

|²+（t²-3）t|

b

|²=0，即-4k+（t²-3）t=0．
∴k=

(t2-3)t

4

，由 

k+t2

t

=

t3-3t+4t2

t

=

1

4

(t2+4t-3)=

1

4

(t+2) 2-

7

4

，
可得当t=-2时，

k+t2

t

有最小值-

7

4

．

点评：本题考查两个向量平行、垂直的性质，以及两个向量的数量积运算、用配方法求二次函数的最值．