Question

13．已知f（x）=-e^x+ex（e为自然对数的底数）
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设g（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²+ax，若对任意x₁∈（0，2]，总存在x₂∈（0，2]．使得g（x₁）＜f（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）由题意可得g（x₁）＜f（x₂）_max．由（Ⅰ）可得问题转化为g（x）＜0在x∈（0，2]恒成立．运用参数分离，求得不等式右边函数的最大值，即可得到所求a的范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=-e^x+ex的导数为f′（x）=-e^x+e，
当x∈（-∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
故f（x）_max=f（1）=0；
（Ⅱ）对任意x₁∈（0，2]，总存在x₂∈（0，2]，
使得g（x₁）＜f（x₂）等价于g（x₁）＜f（x₂）_max．
由（Ⅰ）可知f（x₂）_max=f（1）=0．
问题转化为g（x）＜0在x∈（0，2]恒成立．
参变量分离得：-a＞$\frac{lnx+\frac{1}{2}{x}^{2}}{x}$=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$x，
令r（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$x，x∈（0，2]，
r′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{2}$，由0＜x≤2时，1-lnx＞0，得r′（x）＞0，
即r（x）在x₁∈（0，2]上单增．
故-a＞r（x）_max=r（2）=$\frac{ln2}{2}$+1．
综上：a＜-$\frac{ln2}{2}$-1，
即a的取值范围为  （-∞，-$\frac{ln2}{2}$-1）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查任意性和存在性的解法，注意运用转化思想和构造函数法，求出导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．