Question

10．在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（-1，0），且倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，取与直角坐标系xOy相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；
（2）求直线l₁：x-$\sqrt{3}$y=0被曲线C所截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）由直线l经过点P（-1，0），且倾斜角为α，利用点斜式可得直线方程．曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．由直线l与曲线C有公共点，可得$\frac{|2tanα|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$≤1，解出即可得出．
（2）圆心到直线的距离d=$\frac{1}{2}$，可得弦长=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．

解答 解：（1）由直线l经过点P（-1，0），且倾斜角为α，可得直线方程：y=（x+1）tanα，
曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x²+y²-2x=0，可得（x-1）²+y²=1，
∵直线l与曲线C有公共点，∴$\frac{|2tanα|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$≤1，可得：tan²α≤$\frac{1}{3}$，∴$-\frac{\sqrt{3}}{3}$≤tanα≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵α∈[0，π），∴α∈$[0，\frac{π}{6}]$∪$[\frac{5π}{6}，π）$．
（2）圆心到直线的距离d=$\frac{1}{2}$，
∴直线l₁：x-$\sqrt{3}$y=0被曲线C所截得的弦长L=2$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了曲线的相交弦长、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．