Question

16．如图所示，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时两船之间的距离最短？

Answer 1

分析 设x小时后甲船到达C点，乙船到达D点，则BC=100-50x，BD=30x，由已知可得∠CBD=60°．由余弦定理得CD²=BC²+BD²-2BC•BD•cos∠CBD，即可得出结论．

解答 解：如图，设x小时后甲船到达C点，乙船到达D点，
则BC=100-50x，BD=30x，由已知可得∠CBD=60°．
由余弦定理得CD²=BC²+BD²-2BC•BD•cos∠CBD，
即CD²=（100-50x）²+（30x）²-2（100-50x）•30x•cos60°
=100（49x²-130x+100），
当x=$\frac{130}{2×49}$=$\frac{65}{49}$时CD²最小，即CD最小
所以航行$\frac{65}{49}$小时两船之间距离最短．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用余弦定理是关键．