Question

（本题满分12分）已知椭圆C：（a>b>0）的上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2,且椭圆C过点P（，），以AP为直径的圆恰好过右焦点F2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在两个定点（1,0）,（?1,0）,使其到直线l 的距离之积为定值1

【解析】

试题分析：【解析】
（1）因为椭圆过点P（，），所以,解得 ,

又以AP为直径的圆恰好过右焦点 ．所以A?P,即?=?1, =c（4?3c）． 6分

而 ,所以?2c+1=0,解得=1,

故椭圆C的方程是． 4分

（2）①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，代入椭圆方程得

因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以

，

即 7分

设在x轴上存在两点（s,0）,（t,0）,使其到直线l的距离之积为1,则

,

即（st+1）k+p（s+t）=0（*），或 （**）．

由（*）恒成立,得，解得,或,

而（**）不恒成立． 10分

②当直线l斜率不存在时，直线方程为x=?时，

定点 （－1，0）、 （1，0）到直线l的距离之积．

综上,存在两个定点（1,0）,（?1,0）,使其到直线l 的距离之积为定值1 12分

考点：本题考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系