Question

曲线都是以原点O为对称中心、坐标轴为对称轴、离心率相等的椭圆.点M的坐标是（0,1）,线段MN是曲线的短轴，并且是曲线的长轴 . 直线与曲线交于A,D两点（A在D的左侧），与曲线交于B,C两点（B在C的左侧）．
（1）当=，时，求椭圆的方程；
（2）若，求的值．

Answer 1

（1）C₁ ,C₂的方程分别为，；（2） ．

试题分析：（1）解：设曲线C₁的方程为,C₂的方程为（）…2分
∵C₁ ,C₂的离心率相同，∴,∴，               3分
令代入曲线方程，则 .
当=时，A,C．……………5分
又∵,.由，且，解得      6分
∴C₁ ,C₂的方程分别为，．        7分
（2）令代入曲线方程，，得  ，得   9分
由于，所以(-,m),(,m) ．        10分
由于是曲线的短轴，所以.
∵OC⊥AN，（）.                 11分
∵=（,m），=（,-1-m)，
代入（）并整理得2m²+m-1=0，                     12分
∴或(舍负) ，∴ ．          14分
点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，注意明确焦点轴和a,b,c的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）利用向量垂直，数量积为0，确定得到m的方程。