Question

已知椭圆的长轴长为，离心率为，分别为其左右焦点．一动圆过点，且与直线相切．
（1）求椭圆及动圆圆心轨迹的方程；
（2） 在曲线上有两点、，椭圆上有两点、，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值．

Answer 1

（1），
（2）四边形PMQN面积的最小值为8

试题分析：解：（1）（ⅰ）由已知可得，
则所求椭圆方程.　　　　       3分
（ⅱ）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为.               5分
（2）当直线MN的斜率不存在时，，此时PQ的长即为椭圆长轴长，
从而            6分
设直线MN的斜率为k，则k≠0，直线MN的方程为：，
直线PQ的方程为
设
由，消去可得---8分
由抛物线定义可知：
9分
由消去得，
从而                 10分
∴
令，∵则
则
=，所以=＞8           11分
所以四边形PMQN面积的最小值为8                                  12分
点评：主要是考查了轨迹方程的求解，以及联立方程组结合韦达定理来求解面积，属于基础题。