Question

已知椭圆C：()经过与两点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足．求证：为定值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时．同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时
．②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为（），
则直线OM的方程为，设，，由解得，，∴，同理，所以，为定值． 13分

试题分析：（Ⅰ）将与代入椭圆C的方程，

得解得，．
∴椭圆的方程为．   6分
（Ⅱ）由，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．
①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时
．
同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时
．
②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为（），
则直线OM的方程为，设，，
由解得，，
∴，同理，
所以，
故为定值．   13分
点评：求椭圆方程采用的待定系数法，第二问中要证明式子结果是定值首先需求出点坐标，结合已知条件可知这三点坐标教容易求出，因此只需联立方程求解即可