题目内容
已知函数f（x）=x3+x，a，b，c∈R，且a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，则f（a）+f（b）+f（c）的值一定比零 （填“大”或“小”）．
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：函数的性质及应用
分析：判断函数的奇偶性和单调性，即可得到结论．
解答：
解：∵f（x）=x3+x，
∴f（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），则f（x）是奇函数，
f′（x）=3x2+1＞0，则函数单调递增，
∵a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，
∴a＞-b，b＞-c．c＞-a，
则f（a）＞f（-b）=-f（b），f（b）＞f（-c）=-f（c）．f（c）＞f（-a）=-f（a），
则不等式两边同时相加得f（a）+f（b）+f（c）＞-[f（a）+f（b）+f（c）]
即f（a）+f（b）+f（c）＞0，
故答案为：大
∴f（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），则f（x）是奇函数，
f′（x）=3x2+1＞0，则函数单调递增，
∵a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，
∴a＞-b，b＞-c．c＞-a，
则f（a）＞f（-b）=-f（b），f（b）＞f（-c）=-f（c）．f（c）＞f（-a）=-f（a），
则不等式两边同时相加得f（a）+f（b）+f（c）＞-[f（a）+f（b）+f（c）]
即f（a）+f（b）+f（c）＞0，
故答案为：大
点评：本题主要考查函数值的大小计算，利用函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，要求熟练掌握函数的单调性和导数之间的关系．
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