Question

  如图所示，在正方体中，E为AB的中点

(1)若为的中点，求证: ∥面；

(2) 若为的中点,求二面角的余弦值；

（3）若在上运动时（与、不重合），

求当半平面与半平面成的角时，线段的比.

Answer 1

同下

解析:

(1)证明：如图，连接,

     ∵  为的中点，为的中点

     ∴  ∥     ………………………2分

又  ∥   ∴  ∥

∴   ∥面    ………………………4分

(2) 设二面角的大小为，设正方体的棱长为2，由（1）知四点共面，且四边形为等腰梯形，                      ………………………5分

又   ， ………………………7分

∴     ∴ 二面角的余弦值为。 …………9分

（3）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，，则

    ，

∵  ，

∴  取 ………11分

设面的法向量为，

∵ 

∴      取，则

∵  半平面与半平面成角

∴ ………………………13分

∴  ，即∴  线段的比为。    …………14分

注：本题的方法多样，不同的方法请酌情给分。