Question

16．已知f（x）=Asin（x+$\frac{π}{4}$）（A≠0）．
（1）若A=1，将f（x）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，得到g（x）的图象，求g（x）的解析式及对称轴方程．
（2）若α∈[0，π]，f（α）=cos2α，sin2α=-$\frac{7}{9}$，求A的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求得g（x）的图象的对车轴方程．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得Asin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，再利用两角和的正弦公式展开、平方，化简求得A的值．

解答 解：（1）∵A=1，∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$），将f（x）的图象上各点的纵坐标不变，
横坐标缩短为原来的2倍，可得y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）的图象；
再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，
得到g（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）的图象．
令$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得 x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得g（x）的图象对称轴方程为 x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
（2）若α∈[0，π]，f（α）=Asin（α+$\frac{π}{4}$）=cos2α，sin2α=-$\frac{7}{9}$，
再根据cos²2α+sin²2α=A²sin²（α+$\frac{π}{4}$）+$\frac{49}{81}$=1，求得Asin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
即$\frac{A}{2}$（sinα+cosα）=$\frac{4}{9}$，平方可得A² （1+sin2α）=$\frac{16}{81}$，∴A²=$\frac{8}{9}$，∴A=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，同角三角函数的基本关系，属于中档题．