Question

已知无穷数列{a_n}的各项均为正整数，S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，且对任意正整数n都有Sn2=(Sn)2成立，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对任意正整数n，从集合{a₁，a₂，…，a_n}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a₁，a₂，…，a_n一起恰好是1至S_n全体正整数组成的集合．
（ⅰ）求a₁，a₂的值；
（ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）设公差为d，则有S_n=na₁+

n(n+1)

2

d=n[

d

2

n+(a1-

d

2

)]，由已知可得[

d

2

n2+(a1-

d

2

)]=[

d

2

n+(a1-

d

2

)]2，即可解得数列{a_n}的通项公式；
（2）（i）记A_n={1，2，…S_n}，显然a₁=S₁=1，对于S₂=a₁+a₂=1+a₂，有A₂={1，2，…S₂}={1，a₂，1+a₂，|1-a₂|}={1，2，3，4}，即可解得a₂的值．
（ii）由题意可知，S_n+1=S_n+（2S_n+1）=3S_n+1，又S_n+1+

1

2

=3（S_n+

1

2

），可得S_n=（S₁+

1

2

）•3^n-1-

1

2

=

1

2

•3ⁿ-

1

2

，即可求得a_n=S_n-S_n-1=3^n-1．

解答： （16分）
解：（1）设无穷等差数列{a_n}的公差为d，
则：S_n=na₁+

n(n+1)

2

d=n[

d

2

n+(a1-

d

2

)]，
所以：Sn2=n2[

d

2

n2+(a1-

d

2

)]又(Sn)2=n2[

d

2

n+(a1-

d

2

)]2，
则：[

d

2

n2+(a1-

d

2

)]=[

d

2

n+(a1-

d

2

)]2，
所以：

d 2 = d2 4 a1- d 2 =(a1- d 2 )2 d(a1- d 2 )=0

则a_n=1或a_n=2n-1，
（2）（i）记A_n={1，2，…S_n}，显然a₁=S₁=1，
对于S₂=a₁+a₂=1+a₂，
有A₂={1，2，…S₂}={1，a₂，1+a₂，|1-a₂|}={1，2，3，4}，
故1+a₂=4，所以a₂=3，
（ii）由题意可知，集合{a₁，a₂，…a_n}按上述规则，共产生S_n个正整数．而集合{a₁，a₂，…a_n，a_n+1}按上述规则产生的S_n+1个正整数中，除1，2，…S_n这S_n个正整数外，
还有a_n+1，a_n+1+i，|a_n+1-i|（i=1，2，…S_n），共2S_n+1个数．所以，S_n+1=S_n+（2S_n+1）=3S_n+1，
又S_n+1+

1

2

=3（S_n+

1

2

），
所以S_n=（S₁+

1

2

）•3^n-1-

1

2

=

1

2

•3ⁿ-

1

2

，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

•3n-

1

2

-(

1

2

•3n-1-

1

2

)=3^n-1而a₁=1也满足a_n=3^n-1．
所以，数列{a_n}的通项公式是a_n=3^n-1．

点评：本题主要考查了等差数列通项公式的求法，考查了数列与函数的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．