Question

19．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=2，CB=CC₁=4，∠BCA=90°，E、F、M、N分别是A₁B₁、AB、C₁B₁、CB的中点，建立如图所示的坐标系．
（1）在平面ABB₁A₁内找一点P，使△ABP为正三角形；
（2）能否在MN上求得点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得P的横纵坐标与AB中点的横纵坐标相等，竖坐标的绝对值等于正三角形的高，进而得到答案；
（2）若△AQB为以AB为斜边的直角三角形，则$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BQ}$=0，进而得到答案；

解答 解：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=2，CB=CC₁=4，∠BCA=90°，
故AB=$\sqrt{{AC}^{2}{+CB}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
若△ABP为正三角形，则P到AB的距离为正三角形的高：2$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{15}$，
又由P在平面ABB₁A₁内，
故P的横纵坐标与AB中点的横纵坐标相等，竖坐标的绝对值等于正三角形的高，
∵AC=2，CB=4，
故AB中点坐标为（1，2，0），
故P点坐标为：（1，2，±$\sqrt{15}$）；
（2）设Q点的坐标为（0，2，z），
则$\overrightarrow{AQ}$=（-2，2，z），$\overrightarrow{BQ}$=（0，-2，z），
若△AQB为以AB为斜边的直角三角形，
则$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BQ}$=0，
即Z²=4，
解得：z=2，或z=-2（舍去），
故Q点的坐标为（0，2，2）

点评 本题考查的知识点是向量数量积判断向量的垂直，等边三角形的性质，难度中档．