题目内容

14．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．
（1）设A={x|μ（x+log2x）＞m}，B=（$\frac{1}{2}$，2），若A∩B≠∅，求实数m的取值范围；
（2）设g（x）=μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n）（n∈N+）上的值域为Mn，集合Mn中的元素个数为an，求证：${\;}_{n→+∞}^{lim}$$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}+1}=\frac{1}{2}$；
（3）设g（x）=x+a$•\frac{μ（x）}{x}-2（a＞0）$，h（x）=$\frac{sinπx+2}{{x}^{2}-5x+7}$，若对于x1，x2（2，4]，都有g（x1）＞h（x2），求实数a的取值范围．

分析 （1）根据μ（x）的定义，A∩B≠∅，可得μ（x+log2x）的最大值为3，可得m＜3；
（2）由g（x）=μ（xμ（x）），依次求出数列{an}的前5项，再归纳出an=an-1+n，利用累加法求出an，运用数列的极限的计算公式，即可得证；
（3）对于x1，x2∈（2，4]，都有g（x1）＞h（x2），即有g（x1）＞h（x2）max，由二次函数的最值和正弦函数的值域，可得g（x）的最大值为4，讨论x∈（2，3]，当x∈（3，4]，结合新定义和分离参数，由二次函数的最值的求法，即可解得a的范围．

解答 解：（1）由题意可得x＞0，且x+log2x在（$\frac{1}{2}$，2）递增，
即有$\frac{1}{2}$-1＜x+log2x＜3，可得μ（x+log2x）的最大值为3，
由A∩B≠∅，可得m＜μ（x+log2x）的最大值，
即有m＜3，即m的范围是（-∞，3）；
（2）证明：由题意易知：当n=1时，x∈（0，1]，所以μ（x）=1，所以μ（xμ（x））=1，
所以M1={1}，a1=1；
当n=2时，x∈（1，2]，所以μ（x）=2，所以μ（xμ（x））∈（2，4]，所以M2={1，3，4}，a2=3；
当n=3时，x∈（2，3]，所以μ（x）=3，所以μ（xμ（x））=μ（3x）∈（6，9]，
所以M3={1，3，4，7，8，9}，a3=6；
当n=4时，因为x∈（3，4]，所以μ（x）=4，所以μ（xμ（x））=μ（4x）}∈（12，16]，
所以M4={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16}，a4=10；
当n=5时，因为x∈（4，5]，所以μ（x）=5，所以μ（xμ（x））=μ（5x）∈（20，25]，
所以M5={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，25}，a5=15，
由此类推：an=an-1+n，所以an-an-1=n，
即a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a3=4，…，an-an-1=n，
以上n-1个式子相加得，an-a1=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$，
解得an=$\frac{n（n+1）}{2}$，可得$\underset{lim}{n→+∞}$$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}+1}$=$\underset{lim}{n→+∞}$$\frac{{n}^{2}+n}{2（{n}^{2}+1）}$=$\underset{lim}{n→+∞}$$\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{2}{{n}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$；
（3）对于x1，x2∈（2，4]，都有g（x1）＞h（x2），
即有g（x1）＞h（x2）max，
由g（x）=$\frac{sinπx+2}{{x}^{2}-5x+7}$，当x=$\frac{5}{2}$时，x2-5x+7取得最小值$\frac{3}{4}$，
sinπx+2取得最大值1+2=3，即有g（x）取得最大值4．
当x∈（2，3]，有μ（x）=3，可得x+$\frac{3a}{x}$-2＞4，
即有3a＞x（6-x），当x=3时，x（6-x）取得最大值9，可得3a＞9，即为a＞3：
当x∈（3，4]，有μ（x）=3，可得x+$\frac{4a}{x}$-2＞4，
即有4a＞x（6-x），当x=3时，x（6-x）取得9，可得4a＞9，即为a＞$\frac{9}{4}$．
综上可得a＞3．

点评 本题考查新定义的理解和应用，归纳推理，累加法求数列的通项公式，以及不等式恒成立问题的解法，难度较大．

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