Question

19．已知f（x）是定义在R上的减函数，其导函数f′（x）满足$\frac{f（x）}{f′（x）}$+x＜1，则下列结论正确的是（　　）

• A． 对于任意x∈R，f（x）＜0
• B． 对于任意x∈R，f（x）＞0
• C． 当且仅当x∈（-∞，1），f（x）＜0
• D． 当且仅当x∈（1，+∞），f（x）＞0

Answer 1

分析 由题意可得[（x-1）f（x）]′＞0，结合函数的单调性，从而可判断当x＞1时，f（x）＞0，结合f（x）为减函数可得结论．

解答 解：∵$\frac{f（x）}{f′（x）}$+x＜1，f（x）是定义在R上的减函数，f′（x）＜0，
∴f（x）+f′（x）x＞f′（x），
∴f（x）+f′（x）（x-1）＞0，
∴[（x-1）f（x）]′＞0，
∴函数y=（x-1）f（x）在R上单调递增，
而x=1时，y=0，则x＜1时，y＜0，
当x∈（1，+∞）时，x-1＞0，故f（x）＞0，
又f（x）是定义在R上的减函数，
∴x≤1时，f（x）＞0也成立，
∴f（x）＞0对任意x∈R成立，
故选：B．

点评 本题考查了导数的综合应用，关键在于构造函y=（x-1）f（x）．