Question

如图，在梯形PDCB中，BC=PD，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=

2

，DA⊥PB，将△PAD沿AD折起，使得PA⊥AB，得到四棱锥P-ABCD，点M在棱PB上．

（Ⅰ） 证明：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ） 如果AM⊥PB，求二面角C-AM-B的正切值；
（Ⅲ）当PD∥平面AMC时，求三棱锥P-ABC与三棱锥M-ABC的体积之比．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由图1中DA⊥PB，可得折叠后DA⊥AB，DA⊥PA，进而DC⊥PA，DC⊥DA，由线面垂直的判定定理得到DC⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ） 以A为坐标原点，建立空间坐标系，分别求出平面ACM和平面ABM的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角C-AM-B的余弦值，进而根据同角三角函数关系，可得二面角C-AM-B的正切值；
（Ⅲ）当PD∥平面AMC时，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，可得

PM

MB

=

1

2

，即三棱锥P-ABC与三棱锥M-ABC的高之比为

1

2

，即三棱锥P-ABC与三棱锥M-ABC的体积之比为

1

2

．

解答： 证明：（Ⅰ）因为在图a的等腰梯形PDCB中，DA⊥PB，
所以在四棱锥P-ABCD中，DA⊥AB，DA⊥PA．
又PA⊥AB，且DC∥AB，所以DC⊥PA，DC⊥DA，
而DA?平面PAD，PA?平面PAD，PA∩DA=A，
所以DC⊥平面PAD．
因为DC?平面PCD，
所以平面PAD⊥平面PCD．
（II）以A为坐标原点，建立空间坐标系，如下图所示：

∵PB=3DC=3，PD=

2

，故AD=1，AB=2，AP=1，
故PB=

22+12

=

5

，
当AM⊥PB时，由射影定理可得PM=

1

5

PB，
∴A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），
∴

AC

=（1，1，0），

AB

=（0，2，0），

AP

=（0，0，1），
∴

AM

=

4

5

AP

+

1

5

AB

=（0，

2

5

，

4

5

），
设平面ACM的一个法向量为

m

=（x，y，z），
由

m ⊥ AC m ⊥ AM

得：

m • AC =0 m • AM =0

，
即

x+y=0 2 5 y+ 4 5 z=0

，
令x=2，则

m

=（2，-2，1），
由

AD

=（1，0，0）为平面MAB的法向量，
故二面角C-AM-B的平面角θ满足：
cosθ=

| AD • m |

| AD |•| m |

=

2

3

，
故sinθ=

1-cos2θ

=

5

3

，
故tanθ=

sinθ

cosθ

=

5

2

；
（III）在梯形ABCD中，连接AC、BD交于点O，连接OM．
∵PD∥平面AMC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=MO，
∴PD∥MO

∴

DO

OB

=

PM

MB

，
∵△AOB∽△DOC，
∴

DO

OB

=

CD

AB

=

1

2

，
即

PM

MB

=

1

2

，
即三棱锥P-ABC与三棱锥M-ABC的高之比为

1

2

，
即三棱锥P-ABC与三棱锥M-ABC的体积之比为

1

2

．

点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合体，棱锥的体积，平面与平面垂直的判定定理，难度中档．