Question

4．已知抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线C上一点Q（a，2）到焦点的距离为3，线段AB的两端点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在抛物线C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若y轴上存在一点M（0，m）（m＞0），使线段AB经过点M时，以AB为直径的圆经过原点，求m的值；
（3）在抛物线C上存在点D（x₃，y₃），满足x₃＜x₁＜x₂，若△ABD是以角A为直角的等腰直角三角形，求△ABD面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的定义，丨QF丨=丨QQ₁丨，即可求得p的值，即可求得抛物线方程；
（2）设AB的方程，代入椭圆方程，由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，根据向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得m的值；
（3）由直线的点斜式方程，求得直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，即可求得x₂=-x₁+4k，根据弦长公式，由丨AB丨=丨AD丨，即可求得x₁=k-$\frac{1}{k}$，根据三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得△ABD面积的最小值．

解答 解：（1）设抛物线的C方程x²=2py（p＞0），则焦点F（0，$\frac{p}{2}$），准线方程：y=-$\frac{p}{2}$，
过点Q向准线l作垂线，垂足为Q₁，
由抛物线的定义可得：丨QF丨=丨QQ₁丨，
∴2-（-$\frac{p}{2}$）=3，p=2，
∴抛物线方程：x²=4y；
（2）设直线AB的方程：y=kx+m，则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，整理得：x²-4kx-4m=0，
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，
由AB为直径的圆经过原点，则$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
则x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0
∴（1+k²）×（-4m）+km×4k+m²=0，整理得m²-4m=0，解得：m=4或m=0，
由m＞0，则m=4，
∴m的值4；
（3）设直线AB的斜率为k，k＞0，其方程y-y₁=k（x-x₁），即y=kx+y₁-kx₁，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+{y}_{1}-k{x}_{1}}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，整理得：x²-4kx+4kx₁-4y₁=0，
∴x₁+x₂=4k，x₂=-x₁+4k，
丨AB丨²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]，
=（1+k²）[（4k）²-4x₁（-x₁+4k）]，
=4（1+k²）（x₁²-4kx₁+4k²），
同理丨AD丨=4[1+（-$\frac{1}{k}$）²][x₁²-4（-$\frac{1}{k}$）x₁+4（-$\frac{1}{k}$）²]，
=4（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）（x₁²+$\frac{4}{k}$x₁+$\frac{4}{{k}^{2}}$），
由丨AB丨=丨AD丨，则丨AB丨²=丨AD丨²，4（1+k²）（x₁²-4kx₁+4k²），=4（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）（x₁²+$\frac{4}{k}$x₁+$\frac{4}{{k}^{2}}$），
整理得：x₁=$\frac{{k}^{2}-1}{k}$=k-$\frac{1}{k}$，
则丨AB丨²=4（1+k²）[（k-$\frac{1}{k}$）²-4k（k-$\frac{1}{k}$）+4k²]=4（1+k²）（k+$\frac{1}{k}$）²，丨AB丨=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$（k+$\frac{1}{k}$），
丨AD丨²=4（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）[（k-$\frac{1}{k}$）²+$\frac{4}{k}$（k-$\frac{1}{k}$）+$\frac{4}{{k}^{2}}$]4（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）（k+$\frac{1}{k}$）²，丨AD丨=2$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$（k+$\frac{1}{k}$），
∴△ABD面积S=$\frac{1}{2}$×丨AB丨×丨AD丨=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{1+{k}^{2}}$（k+$\frac{1}{k}$）×2$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$（k+$\frac{1}{k}$），
=$\frac{2（1+{k}^{2}）（k+\frac{1}{k}）^{2}}{k}$=2（k+$\frac{1}{k}$）³≥2（2$\sqrt{k×\frac{1}{k}}$）³=16，
当且仅当k=$\frac{1}{k}$时，即k²=1，即k=1，取等号，
∴△ABD面积的最小值16．

点评 本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．