Question

【题目】已知曲线C1的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2 sin（θ+ ）． （Ⅰ）求曲线C1与曲线C2的普通方程；
（Ⅱ）若点P的坐标为（﹣1，3），且曲线C1与曲线C2交于B，D两点，求|PB||PD|．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程知：曲线C1是过点（﹣1，3）的直线， 相加消去参数t可得：曲线C1的普通方程为x+y﹣2=0．
曲线C2的极坐标方程为ρ=2 sin（θ+ ），
展开可得ρ2=2 ρ（sinθ+cosθ），
利用互化公式可得：曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y=0．
（Ⅱ）由判断知：P在直线C1上，
将 代入方程x2+y2﹣2x﹣2y=0得： ，
设点B，D对应的参数分别为t1 ， t2 ，
则|PB|=|t1|，|PD|=|t2|，而t1t2=6，
∴|PB||PD|=|t1||t2|=|t1t2|=6
【解析】（Ⅰ）由曲线C1的参数方程知：曲线C1是过点（﹣1，3）的直线，相加消去参数t可得：曲线C1的普通方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=2 sin（θ+ ），展开可得ρ2=2 ρ（sinθ+cosθ），利用互化公式可得曲线C2的直角坐标方程．（Ⅱ）由判断知：P在直线C1上，将 代入曲线C2的方程得： ，利用|PB||PD|=|t1||t2|=|t1t2|即可得出．