Question

【题目】已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x+ x2（k≥0）． （Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】解：（I）当K=2时， 由于 所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
．即3x﹣2y+2ln2﹣3=0
（II）f'（x）= ﹣1+kx（x＞﹣1）
当k=0时，
因此在区间（﹣1，0）上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0；
所以f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，+∞）；
当0＜k＜1时， ，得 ；
因此，在区间（﹣1，0）和 上，f'（x）＞0；在区间 上，f'（x）＜0；
即函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，0）和 ，单调递减区间为（0， ）；
当k=1时， ．f（x）的递增区间为（﹣1，+∞）
当k＞1时，由 ，得 ；
因此，在区间 和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在区间 上，f'（x）＜0；
即函数f（x）的单调递增区间为 和（0，+∞），单调递减区间为
【解析】（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；（II）先求出导函数f'（x），讨论k=0，0＜k＜1，k=1，k＞1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．