Question

在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF=2DE
（Ⅰ）求证：BD∥平面CEF．
（Ⅱ）若异面直线AB和CE成角为45°，求二面角B-CF-A的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）延长FE，AD，交于点G，取CF中点M，连结ME，GC，设AC∩BD=O，由三角形中位线定理得ME∥GC，OD∥GC，由平行公理得ME∥BD，由此能证明BD∥平面CEF．
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，DE=t，t＞0，由异面直线AB和CE成角为45°，得t=1，分别求出平面BCF的法向量和平面APC的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角B-CF-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：延长FE，AD，交于点G，取CF中点M，连结ME，GC，
设AC∩BD=O，
∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF=2DE，
∴D，E分别是AG、FG的中点，∴ME∥GC，OD∥GC，
∴ME∥OD，即ME∥BD，
又ME?平面CEF，BD?平面CEF，
∴BD∥平面CEF．
（Ⅱ）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，设AB=1，DE=t，t＞0．
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），E（0，1，t），

AB

=（1，0，0），

CE

=（-1，0，t），
∵异面直线AB和CE成角为45°，
∴|cos＜

AB

，

CE

＞|=|cos45°|=|

-1

1+t2

|，
由t＞0，解得t=1，∴B（1，0，0），C（1，1，0），F（0，0，2），D（0，1，0），

BC

=（0，1，0），

BF

=（-1，0，2），
设平面BCF的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BC =y=0 n • BF =-x+2z=0

，取x=2，得

n

=（2，0，1），
又BD⊥AC，BD⊥PA，∴BD⊥平面APC，
∴

BD

=（-1，1，0）是平面APC的一个法向量，
设二面角B-CF-A的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

BD

，

n

＞|=|

BD • n

| BD |•| n |

|=|

-2

5 • 2

|=

10

5

，
∴二面角B-CF-A的余弦值为

10

5

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．