Question

9．若S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且$\frac{S_8}{8}=\frac{S_6}{6}+10$，则$\lim_{n→∞}\frac{S_n}{n^2}$=5．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的求和公式，计算可得d=10，再由$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{k}{n}$=0，计算即可得到所求值．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
即有S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d，
即$\frac{{S}_{n}}{n}$=a₁+$\frac{1}{2}$d（n-1），
由$\frac{S_8}{8}=\frac{S_6}{6}+10$，可得
a₁+$\frac{7}{2}$d=a₁+$\frac{5}{2}$d+10，
解得d=10，
则$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{5{n}^{2}+（{a}_{1}-5）n}{{n}^{2}}$=5+$\frac{{a}_{1}-5}{n}$，
即有$\lim_{n→∞}\frac{S_n}{n^2}$=$\underset{lim}{n→∞}$（5+$\frac{{a}_{1}-5}{n}$）=5+$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{1}-5}{n}$
=5+0=5．
故答案为：5．

点评 本题考查等差数列的求和公式的运用，考查数列极限的求法，注意运用数列极限公式，属于中档题．